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白云霄2014考研数学《高等数学》考点精讲(数学一)

发表时间:2016-10-14 15:04:09 点击:5080 回复:2

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第一章 函数(1) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二章 一元微分学(3) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三章 一元函数积分学(28) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四章 多元函数微分学(45) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五章 空间解析几何(53) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第六章 多元积分学(57) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第七章 无穷级数(74) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第八章 微分方程(84) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第一章 函 数
一、函数的定义:
1.函数的两大属性:定义域,对应法则
【例1】 下列函数是否相同
(1)f(x)=ln(1-x2),g(x)=ln(1+x)+ln(1-x)
(2)f(x)=ln(x2-1),g(x)=ln(x+1)+ln(x-1)
解 (1)定义域均为-1<x<1,对应法则相同,f(x)=g(x);
(2)f(x)的定义域为|x|>1,g(x)的定义域为x>1,f(x)与g(x)不同.
2.函数的解析式
【例2】 (已知解析式)
(1)设f(x)= x
1+x,求f(1),f(1
x),f(f(x))
解 f(1)= 1
1+1=12
f(1
x)=


1+1

= 1
1+x
f(f(x))= f(x) 1+f(x)=

1+x
1+ x
1+x
= x
1+2x
(2) 设f(x)= x
槡1+x
2,求f(f(x)),f[f…f(x
{
)]

解 f(f(x))= f(x)
槡1+f2(x)


槡1+x

1+ x2
槡1+x2
= x
槡1+2x

归纳得:f[f…f(x)]= x
槡1+nx

【例3】 (未知解析式)
(1)f(ex)=x+1,求f(x).
解 令ex=t x=lnt  f(t)=lnt+1
即f(x)=lnx+1   x>0
(2)f(x+1
x)=x2+1
x2,f(x)=
解 f(x+1
x)=(x+1
x)2-2
— 1—
《高等数学》考点精讲
∴f(x)=x2-2   |x|≥2
二、函数的性质
1.奇偶性
几种常见的奇、偶函数:sinx,cosx,ln(x+ 槡1+x
2),ex-e-x,f(x)+f(-x)(偶),
x,y:f(x+y)=f(x)+f(y)(奇)
【例4】 研究f(x)=ln(x+槡1+x
2)的奇偶性
解 f(-x)=ln(x+槡1+x
2)=ln 1
x+槡1+x
2 =-f(x)
∴f(x)为奇函数.
2.有界性
几种常见的有界函数:sinx,arcsinx,x-[x], x2
1+x2, x2
x2 +y2,闭区间上的连续函数,有极限与有界
的关系等
【例】 设f(x)∈ C(-∞,+∞),且lim x→∞f(x)=A,证明:f(x)有界
证明 ∵ lim x→∞f(x)=A ∴M1 >0 X>0当|x|>X
|f(x)|≤ M1
当|x|≤ X时f(x)在[-X,X]连续,M2 >0使
|f(x)|≤ M2
以M =max{M1,M2}  x∈ (-∞,∞)
|f(x)|≤ M
三、几种特殊函数
(1)f(x)=[x]
(2)f(x)=sgnx:xsgnx与x的关系
(3)分段函数
(4)复合函数
【例5】 设f(x)= ex,x≥ 0
x2{ ,x<0,g(x)= x2 +1,x>0
ex,x≤ { 0
求f(g(x))
解 f(g(x)= ex2+1   x>0
eex x≤ { 0
例6 设f(x)= ex,x<1
{x,x≥ 1 ,g(x)= x+2,x<0
x2 -1,x≥ { 0求f(g(x))
解 f(g(x))=
ex+2,   x<-1
x+2, -1≤ x<0
ex2-1, 0≤ x<槡2
x2 -1, x≥ 槡
ì
í
î
ïï
ïï

— 2—
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第二章一元微分学
一、求导数
1.导数公式
2.求导类型
(1)利用运算法则求导
【例1】 求下列函数的导数(f(x)可导)
2x +x2 +22;xex;xf(x);f(x) x
解 (2x +x2 +22)′=2xln2 +2x
(xex)′=(x+1)ex
(xf(x))′=f(x)+xf′(x)
(f(x) x )′=xf′(x)-f(x)
x2
已知f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2013),f′(0)=2013!
(3)复合函数的导数
【例2】 求复合函数y=[arctan(槡x)]2,y=f( ex)·ef( x) 的导数
解 y=(arctan槡x)2,y′=2arctan槡x
2槡x(1+x)
=arctan槡x
槡x(1+x)
y=f(ex)·ef(x),y′=f′(ex)exef(x)+f(ex)·ef(x)f′(x)
【例3】 f(12
x)=sinx,求f′(12
x),f′(f(x)),[f(f(x))]′
— 3—
《高等数学》考点精讲
解 由f(12
x)=2sinx得f(x)=sin2x,f′(x)=2cos2x
f′(12
x)=2cosx,f′(f(x))=2cos(2sin2x)
[f(f(x))]′=f′(f(x)),f′(x)=2cos(2sin2x)·2cos2x
=4cos(2sin2x)·cos2x
同学们要大量练习,做到熟能生巧
(4)参数方程所确定的函数的导数
例4 设
x=ln1+( t2)
{y=t-arctant,求dy
dx,d2y
dx2.
解 dy
dx=
dy
dt
dx
dt

1- 1
1+t2
2t
1+t2
=t

d2y
dx2=
dy′
dt
dx
dt

12
2t
1+t2
=1+t2
4t
【例5】 设在极坐标下ρ=2θ,求dy
dx
解 x=ρcosθ=2θcosθ
{y=ρsinθ=2θsinθ
dy
dx=
dy
dθ
dx
dθ
=sinθ+θcosθ
cosθ-θsinθ
(5)隐函数求导
【例6】 设ey-xy=1,求y′(0)
解 两边对x求导
eyy′-y-xy′=0
y′= y
ey-x  y′(0)=0
【例7】 设y=tan(x+y),求y″
解 两边对x求导
y′=sce2(x+y)(1+y′),y′=-csc2(x+y)
y″=2csc2(x+y)cot(x+y)·(1+y′)
=2csc2(x+y)cot(x+y)·(1-csc2x+y)
【例8】 设y= sinx·x3槡· 槡1-x
2,求y′
解 两边取对数 lny=1
2(lnsinx+3lnx+12
ln1-x2

— 4—
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y′
y=1
2(cosx
sinx+3
x- x
1-x2)
y′= sinx·x3· 槡槡1-x
2· 1
2(cosx
sinx+3
x- x
1-x2)
(6)幂指函数的导数
【例9】 y=xx,求dy
dx
解 y=exlnx  y′=xx(lnx+1)
【例10】 设y=( x2
1+x)x,求y′
解 y=exlnx2
1+x=ex(2lnx-ln1+x)
y′=( x2
1+x)x[ln x2
1+x2+x(2
x- 1
1+x)]
(7)高阶导数
常用公式:
1.(xn)(n)=n!,(xn)(m)=0(m>n).(m,n均为自然数)
2.(ex)(n)=ex,(ax)(n)=?,(eax)(n)=?
解 (ax)(n)=axlnna  (eax)(n)=eaxa
3.(sinx)(n)=sin(x+n2π),(cosx)(n)=cos(x+n2π),(sin(ax+b))(n)=?
解 [(sin(ax+b))](n)=ansin(ax+b+n2π)
4. 1
a+ ( )x
(n)=(-1)nn!
(a+x)n+1
5.(ln(1+x))(n)= 1
1+ ( )x
(n-1)=(-1)n-1(n-1)!
(1+x)n
【例11】 (sin(2x+3))(10),(cos2x)(20)

(2x+1)
(5) 1
(x2-2x-3)
(4)
解 [sin(2x+3)](10)=210sin(2x+3+5π)=-210sin(2x+3)
(cos2x)(20)=(1+c2os2x)
(20)=12220cos(2x+10π)=219cos2x

(2x+1)
(5)=25(-1)55!
(2x+1)6

(x2-2x-3)
(4)=[ 1
(x-3)(x+1)
](4)=[14

x-3- 1
( x+1)](4)
=14
4!
(x-3)5- 4!
(x+1) ( 5)
=3! 1
(x-3)5- 1
(x+1) ( 5)
— 5—
《高等数学》考点精讲
6.(u·v)(n)=Σn
k=0ckn
u(n-k)v(k)
【例12】 y=x2e-x,求y(n)
解 y(n)=Σn
k=0Ckn
(e-x)(n-k)(x2)(k)
=C0
n(e-x)(n)x2+C1
n(e-x)(n-1)·2x+C2
n(e-x)(n-2)·2
=C0
n(-1)(n)e-xx2+C1
n(-1)(n)e-x·(2x)+2(-1)n-2C2
ne-x
(8)积分上限函数的导数
1.(∫x
af(t)dt)′=f(x),或d
dx∫x
af(t)dt=f(x);
【例13】 设φ(x)=∫x
1 sint2dt,求导数φ′(x).
解 φ′(x)=sinx2
设φ(x)=∫1

3sin槡t
2dt,求导数φ′(x),φ′( π2).
解 φ′(x)=-槡3sinx
2 φ′( π2) =-

sinπ2
槡4
2.如果F(x)=∫(x)
0 f(t)dt,则F′(x)= ∫(x)
0 ( f(t)dt)′=f(φ(x))φ′(x).
【例14】求函数(x)=∫x2
0 sin槡tdt的导数.
解 φ′(x)=2xsinx
3.如果F(x)=∫φ(x)
ψ(x) f(t)dt,则F′(x)=f(φ(x))φ′(x)-f(ψ(x))ψ′(x).
【例15】 求d
dx∫槡x
x2 cost2dt.

d∫槡x
x2 cost2dt
dx =cosx
2槡x-2xcosx4
4.F(x)=∫x
0 (x-t)f(t)dt,F′(x)= .
【例16】 设g(x)处处连续,f(x)=∫x
0 (x-t)g(t)dt,求f′(x),f″(x).
解 f(x)=x∫x
0 g(t)dt-∫x
0 tg(t)dt
f′(x)=∫x
0 g(t)dt+xg(x)-xg(x)=∫x
0 g(t)dt
f″(x)=g(x)
5.F(x)=∫x
0 sin(x-t)2dt,F′(x)= .
解 令x-t=u F(x)=∫x
0 sinu2du
F′(x)=sinx2
— 6—
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【例17】 设f(x)连续,求函数F(x)=∫1
0 f(xt)dt(x>0)的导数.
解 令xt=u  F(x)=∫x
0 f(u)du

F′(x)=
xf(x)-∫x
0 f(u)du
x2
6.设f(x)连续,F(x)=∫1
0 x-tf(t)dt,F′(x)= .
解 当x≥1时 F(x)=∫1
0 (x-t)f(t)dt=x∫1
0 f(t)dt-∫1
0 tf(t)dt
F′(x)=∫1
0 f(t)dt
当x≤0时 F(x)=∫1
0 (t-x)f(t)dt=∫1
0 tf(t)dt-x∫1
0 f(t)dt
F′(x)=-∫1
0 f(t)dt
当0<x<1 F(x)=∫x
0 (x-t)f(t)dt+∫1
x (t-x)f(t)dt
=x∫x
0 f(t)dt-∫x
0 tf(t)dt+∫1
xtf(t)dt-x∫1
xf(t)dt
F′(x)=∫x
0 f(t)dt+xf(x)-xf(x)-xf(x)-∫1
xf(t)dt+xf(x)
=∫x
0 f(t)dt-∫1
xf(t)dt
(9)函数在一点的导数
【例18】 已知f(x)= x2sin1
x x≠0
0 x { =0
,试讨论在x=0的可导性.
解 lim x→0
f(x)-f(0) x-0 =lim x→0
x2sin1
x-0
x-0 =0
∴f′(0)=0,f(x)在x=0处可导
【例19】 已知f(x)= ex   x≥0
cosx { x<0在x=0连续,试讨论在x=0的可导性.
解 f′+
(0)=lim x→0+
f(x)-f(0) x-0 =lim x→0+
ex-1
x =1
f′-
(0)=lim x→0-
f(x)-f(0) x-0 =lim x→0-
cosx-1
x-0 =0
∴f′+
(0)≠f′-
(0)
f(x)在x=0处不可导
【例20】 已知x,y,f(x)f(y)=f(x+y),f′(0)=2,求f(x)
— 7—
《高等数学》考点精讲
解 f′(x)=lim Δx→0
f(x+Δx)-f(x)
Δx =lim Δx→0
f(x)·f(Δx)-f(x)
Δx =lim Δx→0f(x)·f(Δx)-f(0)
Δx
=f′(0)f(x)=2f(x)
∵f(0)可以求出为1(f2(0)=f(0) f(0)=0或1 如果f(0)=0 f(x)=f(x)·f(0)=0
f′(x)=0与f′(0)=2不符)
由f′(x)=2f(x)可知f(x)=e2x
(10)分段函数的导数
【例21】 已知f(x)= x2arctan1
x  x≠0
0 x { =0
, 求f′(x)
解 x≠0,f′(x)=2xarctan1
x- x2
1+x2
x=0,f′(0)=lim x→0
x2arctan1
x-0
x-0 =lim x→0xarctan1
x=0

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